1、偏振的概念

光的三大特性分别是波长、强度和偏振，其中偏振是指电磁波或其他横波特有的电矢量与磁矢量振动方向垂直于传播方向的平面内表现出的对称性缺失的现象。光是一种电磁波，由相位相同、相互垂直的电场与磁场组成，这两种波在各自的方向上振动并沿着相同方向传播。

通常使用电场的传播情况来讨论光的偏振特性。如图所示，可将电场矢量\( E \)投影到\( x \)和\( y \)两个方向上，分别用\( E_x \)和\( E_y \)表示，\( E_x \)和\( E_y \)在沿着传播方向上随时间和空间周期性振荡分布的现象即为偏振。

2、常见的偏振态

光的偏振状态常见有3类：线偏振、圆偏振和椭圆偏振。沿着传播方向，若\( E_x \)与\( E_y \)的夹角为90°及其奇数倍时，即投影方向的电矢量振动具有恒定\( \pi/2 \)的相位差，此时光的偏振状态被称为圆偏振，光被称为圆偏振光，垂直于传播方向的截面可以看到电矢量的端点移动轨迹是一个圆。

 

类似地，当投影方向的两个振动矢量夹角为0°或\( \pi \)及其整倍数时，两个方向振动具有恒定Pi相位差，此时光的偏振状态为线偏振，光被称为线偏振光，垂直于传播截面的电矢量端点移动轨迹为一条线。

当电矢量的投影分量夹角介于\( 0-180° \)且不为\( 45° \)时，振动相位差依然恒定，但电矢端点移动轨迹将成为一个椭圆，此时光的偏振态称为椭圆偏振，光为椭圆偏振光。

3、偏振分类与转换

从普通光源直接发出的光是无数偏振光的集合，可使用偏振度\( p \)（DOP，Degree of Polarization）量化偏振光光强在总光强中的占比：

\( p = \frac{I_{max}-I_{min}} {I_{max}+I_{min}} \)

根据偏振光的占比可将光分为非偏振光\( (p=0) \) 、部分偏振光\( (0 \)和完全偏振光\( (p=1) \) 。常见的热光源发出的光偏振态各向同性是非偏振光光源，如太阳、卤素灯等，冷光源有生物能、电能发出的光是部分偏振光，如LED发出的光是部分偏振光。 从光源直接发出的光通常含有多种偏振态，若想获取特定偏振态的光需要使用偏振调制器件进行转换，如利用1/2波片可以将各项异性的非偏振光过滤为振动方向与波片透过方向一致的高纯度线偏振光，利用1/4波片可以将线偏振光转换为椭圆偏振光。使用其他光电调制器件则可以实现自由延迟两个投影方向的电矢量相位差，实现偏振态的灵活调控，如液晶相位调制器，空间光调制器等。

4、偏振态表征

光学元件有时会对入射光的偏振态产生影响，如何描述光学元件对偏振态的调制作用？常用方式有琼斯矩阵，斯托克斯参量和庞加莱球。

4.1 琼斯矩阵

当一束任意偏振光通过光学元件时设传播方向为 轴，在垂直于 轴的平面上，电场矢量的可以分解为互相垂直的投影分量，表示为：

\( \begin{cases} E_x=E_{0x}e^{-i(\omega t-kz+\varphi_{0x})}=E_{0x}e^{-i\omega t}e^{i\varphi_{x}}\\ E_y=E_{0y}e ^{-i(\omega t-kz+\varphi_{0y})}=E_{0y}e ^{-i\omega t}e^{i\varphi_{y}} \end{cases} \)

两个正交分量的复振幅为：

\( \begin{cases} \tilde{E}_x=E_{0x} e^{i\varphi_x}\\ \tilde{E}_y=E_{0y} e^{i\varphi_y} \end{cases} \)

使用矩阵来描述该电矢量可以表示为：

\( E= \begin{gathered} \begin{pmatrix} \tilde{E}x \ \tilde{E}y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E{0x}e^{i\varphi_x} \ E{0y}e^{i\varphi_y} \end{pmatrix} \end{gathered} \)

可对该矩阵进行强度归一化：.

\( $E=\frac{E_{0x}e^{i\varphi_x}}{\sqrt{E_{0x}^2+E_{0y}^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ E_0e^{i\varphi}\end{pmatrix} \)

因此，若入射光的偏振态是\( E_1 \)：

\( E_1= \begin{pmatrix} A_1 \ B_1 \end{pmatrix} \)

经过元件后的偏振态为：

\( E_2= \begin{pmatrix} A_2 \\ B_2 \end{pmatrix} \)

则该元件的调制过程可用一个二行二列矩阵来表示：

\( \begin{pmatrix} A_2 \\ B_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ B_1 \end{pmatrix} \)

可以将该矩阵重新表述为：

\( E_2=GE_1 \)

其中矩阵\( G \)则为元件的琼斯矩阵，常见的偏振器件琼斯矩阵如下表所示：

利用琼斯矩阵可快速计算出入射光经过光学系统调制后的偏振态：

\( E_t=G_N...G_2G_1E_i \)

其中\( G_i \)依次为光经过件光学元件琼斯矩阵，调制过程具有先后顺序，因此计算顺序不可颠倒。

4.2斯托克斯（Stokes）参量

斯托克斯参量是一组描述电磁波偏振状态的参量，1852年由George Gabriel Stokes提出，使用数学语言描述光的强度、偏振态等重要参数。

\( S= \begin{bmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3 \end{bmatrix} \)

其中\( S_0 \)、\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)为Stokes参量，各参量的详细定义为：

\( \left\{ \begin{array}{**lr**} S_0=\langle \begin{vmatrix} E_x(t) \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} E_y(t) \end{vmatrix}^2\rangle= I_x+I_y\\ S_1=\langle \begin{vmatrix} E_x(t) \end{vmatrix}^2-\begin{vmatrix} E_y(t) \end{vmatrix}^2\rangle= I_x-I_y\\ S_2=2\langle\begin{vmatrix} E_x(t)E_y(t)cos(\delta) \end{vmatrix}\rangle= I_{+45°}-I_{-45°}\\ S_3=2\langle\begin{vmatrix} E_x(t)E_y(t)sin(\delta) \end{vmatrix}\rangle= I_{Q+45°}-I_{Q-45°}\\ \end{array} \right. \)

\( E_x(t) \)和\( E_y(t) \)分别表示电场在\( x,y \)方向的分量。\( E_i(t) \),\( {i}=x,y \)是电场在\( x、y \)方向的分量。\( \delta=\varphi_y(t)-\varphi_x(t) \)是相对相位差。<·>代表取时间平均值。参量S代表光的光强,\( {I+45°} \)和\( {I-45°} \)分别是光透过水平和垂直放置偏振片时接收到的光强;\( I_{Q+45°} \)和\( I_{Q-45°} \)分别是光透过±45°放置偏振片时的光强;和分别是在±45°偏振片之前放置1/4波片测到的光强。

使用椭偏测量仪（也被称为检偏仪）可检测出各参量，检偏仪将接受的光信号分为3路，其中两路光信号通过0°和45°偏振分束器，可以得到\( S_0、S_1、S_2 \)，在剩下的一路光通过1/4波片即可获得。典型的偏振光的Stokes矢量可如下表所示：

对于完全偏振光：

\( S_0^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2 \)

对于部分偏振光：

\( S_0^2>S_1^2+S_2^2+S_3^2 \)

对于非偏振光：

\( S_1^2+S_2^2+S_3^2=0 \)

4.3 庞加莱球

庞加莱球是法国著名数学物理学家Henri Poincaré建立的，使用庞加莱球可以清晰的展现光的Stokes矢量：

\( \left\{ \begin{array}{**lr**} S_1=S_0cos2\beta cos 2\theta\\ S_2=S_0cos2\beta sin 2\theta\\ S_3=S_0sin 2\beta \end{array} \right. \)

该矢量类似直角坐标系与球坐标系转换关系，因此可以使用球坐标重新描述Stokes参量即构成了庞加莱球：

庞加莱球的各种参数表示如下：

1. 维度夹角与椭圆率对应，经度夹角与椭圆主轴方位对应。
2. 各种偏振态在庞加莱球上均可以表示。赤道上各点，椭圆率为0，表示线偏振光，S1轴的正负方向分别表示45°和-45°线偏振光；上半球各点的椭圆率在0-45°之间，表示左旋椭圆偏振光，北极点的椭圆率为45°，表示左旋圆偏振光，同理下半球各点表示右旋椭圆偏振光，南极点为右旋圆偏振光。
3. 庞加莱球的表面可以用于表示偏振态明确的偏振光，对于多种偏振态叠加的部分偏振光，可使用球内点进行表示。

椭圆度的变化范围为[-45°, 45°]，则可以用χ的符号表示偏振的旋转方向，据偏振椭圆的椭圆度和方位角可得出\( E_x \)和\( E_y \)电场分量的相位差(\( \delta \))。对于下图中所有的椭圆，两分量的振幅相同。电场矢量的旋转方向使用偏振椭圆上的箭头表示。

若将庞加莱球用光强归一化表示，则球上任意点位置均可用角坐标表示 因此Stokes矢量与偏振椭圆参数的关系可以表示为：

\( \left\{ \begin{array}{**lr**} tan 2\theta=\frac{S_2}{S_1}, 0°\leq \theta\leq 180°\\ tan 2\beta=\frac{S_3}{S_0}, -45°\leq \beta\leq 45° \end{array} \right. \)

斯托克斯参数是庞加莱球在直角坐标系\( (S1,S2,S3) \)上的映射，可以参照下表进行换算：

5、\( P \)光、\( S \)光和布儒斯特角

当光束从一种介质入射到另一种介质中，入射光与被入射平面法线形成的平面称为入射平面，线偏振光分为偏振方向平行于入射平面的\( P \)光和垂直于\( S \)入射平面的光，可用于讨论光在折反射时的偏振态转变。

非偏振的自然光在电介质界面上发生发射和折射时，反射光和折射光是部分偏振光，当入射角为某特定角度时，反射光的偏振态是完全与入射面垂直的\( S \)偏振，折射光的偏振态是与入射面平行的\( P \)偏振光，此时的入射角称为布儒斯特角，也称起偏角。

利用光以布儒斯特角入射时折反射光的偏振态互相垂直的特性，可以用于特殊场景产生纯净的线偏振光，如制作偏振镜作为滤光设备，或摄影镜头前的减反膜等。利用能流以布儒斯特角入射时完全透射的特性，可以在激光器中获得高相干的单色偏振光，如气体激光器中在激光谐振腔的放电管上，以布儒斯特角斜贴的两块玻璃形成布儒斯特窗，\( S \)分量在腔内不能形成多次反射，但沿轴传播的\( P \)光可以无损通过窗口，并在激光谐振腔中增益放大，因此获得稳定的P偏振光输出光束。